Mandelbrot-fraktaler

Jeg tenker å bruke denne bloggen til å forklare forskjellige interessante ting jeg kommer over på en forståelig måte. I denne bloggposten vil jeg forklare Mandelbrot-fraktalen. Underveis gir jeg lynintroduksjoner til komplekse tall og konvergente og divergente følger.

Komplekse  tall

Fra barnsben av lærer vi om desimaltall, og at disse ligger på en linje. Matematikere kaller disse tallene for de relle tallene, og vi kaller mengden av alle reelle tall for \mathbb R («krittavle-R»). Du kan tenke på tallinja som en linje som er uendelig lang i begge retninger, hvor negative tall er til venstre og positive tall er til høyre.

Komplekse tall går ikke bare i én retning, men i to. De har altså både en x- og en y-koordinat. Alle komplekse tall ligger i planet:

Det komplekse planet. Hvert komplekse tall er gitt ved to koordinater.
Det komplekse planet. Hvert komplekse tall er gitt ved to koordinater.

Over er et bilde av det komplekse planet. Hvert komplekse tall er gitt ved to koordinater: en realdel a og en imaginærdel b. Vi ser at tallene med imaginærdel lik null (altså tallene med b=0), er reelle tall. Altså er alle reelle tall en del av det komplekse planet, men vi har mange nye tall.

Det er lett å legge sammen komplekse tall. Om vi har to komplekse tall, legger vi bare sammen realdelene og imaginærdelene hver for seg:

(a+ib) + (c+id) = (a+c)+i(b+d)

Tenker vi oss litt om, er dette akkurat som vektoraddisjon:

Å legge sammen komplekse tall gjøres ved parallellogram-regelen.
Å legge sammen komplekse tall gjøres ved parallellogram-regelen.

På bildet over har vi summert tallene 1+i og 1.5+0.5i.

Vi kan også gange sammen komplekse tall. Dette er rett fram, bare at vi krever en ting: for komplekse tall krever vi at i^2=-1. Den nye koordinaten vi innfører, fungerer som en kvadratrot for -1 (husk at om x er et reelt tall, er alltid kvadratroten positiv. Komplekse tall oppfører seg annerledes):

(a+ib)(c+id) = ac+ad i +bc i + bc i^2 = (ac-bc) + (ad+bc)i.

Det finnes også en geometrisk tolkning av multiplikasjon av komplekse tall, men det hopper vi over i denne runden (hvis du virkelig vil ha svaret: for å gange sammen to komplekse tall, så ganger vi sammen lengdene til tallene og legger sammen vinklene).

Alle komplekse tall har en lengde. Lengden til et komplekst tall er akkurat hva du tror det skal være, og hvis vi husker ungdomsskolepensumet, husker vi at vi kan regne ut lengen ved hjelp av Pythagoras’ formel. Vi skriver |z| for lengden til tallet z.

|z| = \sqrt{a^2+b^2}.

Dette er de egenskapene til komplekse tall vi trenger for å forstå hvordan Mandelbrot-fraktalen er definert. Komplekse tall er et fascinerende felt, og det er mange flere ting jeg kunne sagt, men jeg har ingen planer om å skrive bok akkurat nå.

Det viktigste å huske er at de legges sammen koordinatvis, og at i^2=-1. Fra dette følger alt det andre.

Følger

La oss starte med et eksempel. Jeg gir deg to startverdier a_1 = 1 og a_2=2. Så forteller jeg deg at du får neste tall i følgen ved å legge sammen de to forrige tallene. Dermed er a_3 = a_2 + a_1 = 2. Sånn kan vi fortsette, og generelt har vi at a_n = a_{n-1} + a_{n-2}. De første tallene vi får er er

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

Dette gir oss det som kalles en følge. En følge er ikke noe annet en uendelig lang rekke av tall (de kan godt være naturlige tall eller komplekse tall). Her er hvordan du kan lage disse tallene i Python:

L = [1,1]
for i in range(20):
    L.append(L[i]+L[i+1])

L
>>
[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711]

Det vi ser er at at tallene vokser veldig raskt. Faktisk vokser de eksponensielt raskt (like raskt som en bakteriekultur med nok næring og plass), og asymptotisk som \varphi^n, hvor \varphi=(1+\sqrt 5)/2 er det gylne snitt.

Denne følgen er også kjent som Fibonacci-følgen, og det er allerede skrevet masse om den. Se for eksempel Wikipedia.

Dette var et eksempel på en divergent følge. Den vokser og vokser og går ikke mot noe bestemt tall. Det er to måter en følge en følge kan divergere på. Enten går den mot uendelig, slik Fibonacci-følgen gjorde. Ellers kan den oscillere og aldri slå seg til ro. Et eksempel er a_n=(-1)^n. Denne går slik: 1, -1, 1, -1, …, og slår seg aldri til ro.

Med dette vet vi nok om følger til å introdusere Mandelbrot-mengden.

Mandelbrot

La f(z)=z^2+c. Dette er altså en funksjon som først kvadrerer et komplekst tall og så legger c til det. Geometrisk betyr dette at vi kvadrerer lengden til tallet og dobler vinkelen, og deretter flytter det med vektoren c  bortover (vi kan alltid tenke på komplekse tall som både tall og vektorer).

For hvert komplekse tall c lager vi følgende følge: z_0=0. Deretter er z_1=f(0). Og z_2=f(f(0)). Generelt er z_n=f(z_{n-1})=f^{(n)}(0). Vi bruker altså funksjonen igjen og igjen på det forrige resultatet.

Eksempel: la c=1. Da er z_0=0. Og z_1=0^2+1=1. Og z_2 = f(f(0))=f(1)=1+1=2. Før du leser neste avsnitt, ser du hva neste tall i følgen blir?

Vi regner ut z_3 = f(f(f(0))) = f(2) = 2^2+1=5. Og z_4 = 5^2+1=26. Og z_5 = 26^2+1= 677. Dette vokser utrolig raskt. Allerede z_{10} \approx 10^{90}, som er mye mer enn antall atomer i det observerbare universet.

Hva skjer så hvis vi prøver med c=-1 i stedet? Vi regner ut de første tallene i Python slik:

def z(n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        return z(n-1)**2-1

[z(i) for i in range(10)]
>>
[0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1]

Nå vokser ikke tallene, og vi ser at følgen alternerer mellom 0 og -1. Vi sier at følgen er begrenset.

La oss prøve med et komplekst tall, for eksempel c = i, altså roten til minus én. Igjen kan vi bruke Python til å gjøre utregningen for oss. Python har et bibliotek som gjør at vi slipper å implementere komplekse tall selv. Så følgende kode virker:

import cmath

def z(n, c):
	if n == 0:
		return 0
	else:
		return z(n-1,c)**2 + c


print([z(k,1j) for k in range(12)]

>>
[0, 1j, (-1+1j), -1j, (-1+1j), -1j, (-1+1j), -1j, (-1+1j), -1j, (-1+1j), -1j]

Igjen ser vi at vi får noe som ikke vokser ut av all kontroll. Det er interessant å spørre seg for hvilke c i det komplekse planet vil denne følgen vokse ut av all kontroll, og for hvilke c vil den holde seg begrenset?

Det er akkurat dét Mandelbrot-mengden er: det er mengden av c-verdier i planet slik at følgen over er begrenset. Så langt vet vi at -1 og i er med i Mandelbrot-mengden, men ikke 1.

Implementering av Mandelbrot i Processing

Processing er et programmeringsspråk som er bygd på Java, men med enklere syntaks. Formålet er at det skal være enkelt å komme i gang, og da spesielt med grafikk. Siden det er bygd på Java, har vi tilgang til alle de vanlige Java-bibliotekene, og syntaksen er veldig lik.

Siden Mandelbrot-mengden er definert som en viss delmengde av det komplekse planet, er det kjekt å kunne regne på komplekse tall på datamaskinen. Derfor har jeg skrevet en liten klasse for å summere og gange sammen komplekse tall:

class Complex {
  double x;
  double y;
  
  Complex(double x_, double y_) {
    x = x_;
    y = y_;
  }
  
  @Override
  public String toString() {
    return String.valueOf(x) + "+i" + String.valueOf(y);
  }
  
  // adds c to self
  void add(Complex other) {
    x = x + other.x;
    y = y + other.y;
  }
  
  // squares this number
  void square() {
    double old_x = x;
    double old_y = y;
    x = old_x*old_x - old_y*old_y;
    y = 2*old_x * old_y;
  }
  
  // returns square of length
  double lengthSq() {
    return x*x+y*y;
  }
}

Vi har nå muligheter for å legge sammen to komplekse tall, kvadrere et tall, og å få lengden til tallet.

Vi trenger en funksjon som lager følgen z_n = f(z_{n-1}) som vi definerte over. Husk at et komplekst tall c er med i Mandelbrot-mengden om denne følgen er begrenset. Om vi har gitt z_{n-1}, vil denne funksjonen regne ut z_n:

public void iterate(Complex z, Complex c) {
  z.square();
  z.add(c);
}

Koordinatsystemet Processing bruker er forskjellig fra det koordinatsystemet vi lærer om på skolen. I Processing svarer koordinatet (0,0) til venstre øvre hjørne. Jeg har derfor skrevet en funksjon som oversetter fra «piksel-koordinater» til komplekse koordinater. Når vi har alt dette, kan vi bruke følgende funksjon for å regne ut om et punkt (i,j) er med i Mandelbrot-mengden:

boolean checkMandelbrot(int i, int j, int noIterations) {
  Complex c = pixelToComplex(i, j);
  int k = 0;
  Complex z = new Complex(0, 0);
  while (k < noIterations) { iterate(z, c); if (z.lengthSq() >= 4) {
      return false;
    }
    k++;
  }
  return true;
}

Funksjonen konverterer først pikselkoordinatet (i,j) til et komplekst tall. Deretter lager den følgen, og sjekker om den er ubegrenset eller ikke. Ifølge Wikipedia er følgen ubegrenset om den en gang får vektorer med lengde 2. Hvis dette skjer før vi har nådd maksimalt antall iterasjoner, returnerer vi false, som betyr at punktet ikke er med i Mandelbrot-mengden.

Til slutt gjør vi dette for alle punkter i bildet, og vi får ender opp med følgende versjon av Mandelbrot-mengden:

En enkel versjon av Mandelbrot-fraktalen, uten noe hokuspokus.
En enkel versjon av Mandelbrot-fraktalen, uten noe hokuspokus.

Hele koden for å generere dette har jeg lagt ut på GitHub.

Jeg har også skrevet en mer komplisert versjon av samme skript som gir penere bilder:

Fargene sier noe om hvor raskt følgen i det punktet divergerer.
Fargene sier noe om hvor raskt følgen i det punktet divergerer.

I det mer kompliserte programmet har jeg lagt til funksjonalitet som gjør at man kan zoome innover i fraktalen. Her er noen utsnitt av hva man se:

Sjekk ut koden på GitHub. Jeg må bare først advare om at koden til denne er ganske rotete og dårlig kommentert!

Det får være nok for denne gang. Forhåpentligvis har leseren lært noe om Mandelbrot-mengden og at matte blir mye morsommere når man kan programmere den.

Et streiftog blant utvalgte matematikere

Man tenker på matematikere som fjerne mennesker uten særlig stor grad kontakt med virkeligheten. De går rundt i sin egen verden, krasjer i lyktestolper mens de tenker på problemer, og bryr seg ikke om utseendet. Ingen stereotypi er ubegrunnet, og dette gjelder selvsagt også for matematikere.

Arkimedes, en av de store tidlige matematikerne, var et typisk eksempel på en fjern matematiker. Da byen Syrakus ble invadert av romerne, løste Arkimedes geometriproblemer i sanden. En soldat skal ha kommandert ham til å møte generalen, men Arkimedes nektet, og svarte «Ikke forstyrr mine sirkler!». Soldaten ble fornærmet, og drepte Arkimedes.

Det er lett å la seg fascinere av en slik fascinasjon. Det var akkurat det Sophie Germain gjorde på 1700-tallet. Som barn var hun nødt til å holde seg inne på grunn av revolusjon i gatene i Paris. Hun brukte tiden til å lese i farens bibliotek, og kom over historien om Arkimedes´ død. Sophie tenkte at om noen kunne være så fascinert av matematikk så måtte det være fantastisk interessant. Hun begynte å lese alle matematikkbøkene i farens bibliotek, og skal til og med ha lært seg gresk og latin for å kunne lese verkene til Newton og Euklid. Siden matematikk ikke var en passende aktivitet for unge piker, fant foreldrene til Sophie på metoder for å holde henne unna matematikken. De gjemte vekk varme klær, fjernet stearinlysene og slo av varmen slik at Sophie ikke skulle ha muligheten til å lese matematikk om kveldene. Men Sophie var slu. Hun hadde et hemmelig lager med stearinlys, og om kveldene tullet hun seg inn i lakner og leste matematikk. Da foreldrene oppdaget henne en morgen, frossen og sovende, på pulten med tavlen full av formler og blekket i blekkhuset frosset, skjønte de at nok var nok, og at det var på tide å la henne få arbeide med matematikken som hun ville. Det var et klokt valg, og Sophie endte opp med å gjøre viktige bidrag til matematikken.

Men matematikere er ikke bare totalt oppslukt i arbeidet sitt, de er også ofte pussige mennesker. Godfrey Harold Hardy var en brite med sin storhetsperiode på begynnelsen av forrige århundre. I en artikkel, «A mathematician’s apology», skriver Hardy at hovedgrunnen til at han liker matematikk så godt, er at det er totalt ubrukelig. Hardys felt var nemlig tallteori, et matematisk felt hvor man ikke regnet på kanonkuler, sjokkbølger, eller noe annet av praktisk betydning – trodde han. Hardy kunne vanskelig ta mer feil. Hans felt, tallteori, er bakgrunnen for sikker kryptering på internett og bankterminaler. Hardy hadde sine særegenheter, og han skal ha nektet å bruke armbåndsur og telefon, og insisterte på å å bruke telegram og postkort til å kommunisere med. Hans store lidenskap etter matematikk var cricket. Hardy giftet seg aldri, men skal ha hatt korte platoniske forhold med unge menn.

Om Hardy var pussig, så blir han forbigått langt på vei av Paul Erdös. Erdös ble født i Ungarn i 1913 og skal ha utviklet matematisk talent svært tidlig: som treåring skal han ha kunnet regne ut hvor mange sekunder en person hadde levd. Som 21-åring fikk han doktograden sin, og han underviste noen år i Manchester og Princeton. Etterhvert begynte han med sin karakterisiske vane med å reise rundt mellom forskjellige matematikkfakulteter rundt omkring i verden. Han ble aldri lenge på et sted, og fortsatte med dette hele livet. Eiendeler betydde lite for Erdös, og de fleste eiendelene hans fikk plass i en koffert. Han dukket ofte opp på døren hos en matematiker og erklærte at «hans hjerne er åpen». Der ville de samarbeide og skrive noen artikler, før Erdös dro til neste matematiker.

Et sitat Erdös er kjent for, er at «en matematiker er en maskin for å gjøre om kaffe til teoremer», og Erdös skal ha vært en stor kaffeforbruker. Koffein var ikke det eneste rusmidlet Erdös hadde et stort forbruk av: han brukte jevnlig amfetamin. En venn veddet $500 på at han ikke kunne klare et måned uten stoffet, men tapte. Etter måneden uten amfetamin, begynte han raskt igjen, for som han selv sa: «Før, når jeg så på et blankt ark, ble hodet mitt fylt av ideer. Nå er alt jeg ser et tomt ark.»

Erdös snakket ofte om «Boken», hvor de aller vakreste matematiske bevisene var skrevet ned av «Gud». Han tvilte selv på Guds eksistens, og kalte ham for «den største fascisten», og anklaget ham for å gjemme sokkene og det ungarske passet hans, og for å holde de mest elegante matematiske bevisene for seg selv. Når han kom over et spesielt elegant bevis, ville han utbasunere at «denne er fra Boken!». Han hadde en spesiell ordbruk, og kalte små barn for «epsiloner» (matematikere bruker den greske bokstaven epsilon til å representere et veldig lite tall), kvinne var «sjefer», menn var «slaver», personer som hadde sluttet med matematikk hadde «dødd», personer som hadde giftet seg hadde blitt «fanget», og personer som skilte seg var «frigjort». Å holde et matematikkforedrag var å «preke», og å gi en student en muntligeksamen var å «torturere» ham/henne. Erdös foreslo at teksten på gravstenen hans skulle være «nå har jeg endelig sluttet å bli dummere».

Det forrige århundrets største logiker var nesten uten tvil Kurt Gödel, som beviste sine to berømte ukompletthetsteoremer. Gödel ble født i Østerrike i 1906, og viste tidlig matematiske talenter. Allerede som 18-åring behersket han universitetsmatematikk, og ble Privatdozent som 27-åring. På denne tiden kom nazistene til makten også i Østerrike, og på grunn av sine jødiske kontakter så Gödel seg nødt til å flykte til USA – noe han gjorde på den transsibirske jernbanen, seilte fra Japan til San Fransisco, så tog til Princeton, hvor han fikk en professorstilling. Her ble han kjent med Albert Einstein, og de ble svært gode venner. På slutten av livet skal Einstein ha sagt at hans eget arbeid ikke lenger betydde særlig, og at den eneste grunnen til at han kom på Princeton, var å få gå spaserturer med Gödel.

Gödel led av diverse psykiske lidelser, og skal ha hatt en konstant frykt for å bli forgiftet. Han nektet å spise noen mat før konen hans, Adele, hadde smakt på maten først. Da Adele tilbrakte seks måneder på sykehus, sultestreiket Gödel, og endte opp med å sulte seg i hjel.


Teksten over ble publisert i tidsskriftet Argument, nummer 5, 2010.

«No Easy Day: The Firsthand Account of the Mission that Killed Osama bin Laden»

Jeg fullførte akkurat boken «No Easy Day: The Firsthand Account of the Mission that Killed Osama bin Laden«, skrevet av en mann med pseudonymet Mark Owen, en tidligere amerikansk spesialsoldat.

Boken tar for seg jeg-personens karriere som spesialsoldat. Han  beskriver flere oppdrag, blant dette et hvor han er med på å redde en amerikansk kaptein som holdes som gissel av somaliske pirater. Virkeligheten er brutal – piratene blir skutt av snipere så snart alle tre er synlig på samme tidspunkt. Et annet oppdrag som ble beskrevet foregikk i Irak. Da det viste seg at «de slemme» (i mangel av bedre ord) hadde barrikadert seg med sandsekker i huset de gjemte seg i, var løsningen enkel: skyte ned hele bygget med tanks.

Omtrent halvveis ute i boken får jeg-personen vite at han og flere andre er plukket ut til å ta ut Osama bin Laden. Etter et blindspor fire år tidligere, tror de fleste at dette er nok et blindspor. CIA påstår de er «100% sikre». Planleggingen, treningen og utførelsen av oppdraget beskrives grundig – og er vanvittig spennende å lese om. bin Laden ble skutt i det han tittet ut en dør – han var ubevæpnet. Etterpå ble han skutt flere ganger i overkroppen.

På visse måter er boken brutal. Her er et par sitater:

… That night, we killed more than ten fighters and suffered no casualties.

og

Abrar al-Kuwaiti was wounded and struggling on the floor. Just as they opened fire again, his wife Bushra jumped in the way to shield him. The second burst of rounds killed both of them.

Det naive inntrykket mitt er at krig er overraskende brutalt, og at spesialsoldatene var meget bedre utrustet enn motstanderne (dette kommer veldig tydelig fram når han beskriver nattbrillene sine: de skal ha kostet 65.000 dollar!)

Veldig spennede, veldig interessant. Anbefales absolutt. Les også de negative anmeldelsene på Amazon for litt perspektiv. De er interessante, selv om jeg ikke helt kjenner meg igjen i all kritikken.

Alkymisten av Paulo Coelho

Første omslag

Jeg fullførte akkurat «Alkymisten» av Paulo Coelho. Jeg har tidligere lest tre bøker av samme forfatter, og alle disse har vært svært gode bøker. Spesielt likte jeg «Veronika vil dø».

Jeg har forandret meg de siste 5-6 årene. I tenårene var jeg fascinert av fantasy-litteratur og trollmenn og slikt. Jeg elsket Isabel Allendes «Åndenes Hus», for eksempel. Etterhvert ble jeg mer kritisk til alt spirituelt og «åndelig», og jeg har vanskelig for å sympatisere med folk som bruker  uttrykk som «skjebnen», «livsenergier» og så videre.

Det er nettopp det denne boken er full av. Forfatteren beskriver den som «symbolsk», men det er bare en annen måte å si «bullshit» på.

Boken handler om hovedpersonens reise til Egypt. Han var en gjeter som hadde drømt at han ville finne en skatt i Egypt. På veien snakker han med vinden, med Gud, og det fortelles masse symbolske historier. Hele greia er at det ikke er mulig å forstå «verdenssjelen» med normale ord – alt må forstås symbolsk.

Jeg avslutter med noe forfatteren fortalte om i etterordet:

 En kveld, mens vi satt og pratet etter en slitsom runde med telepati, spurte jeg hvorfor alkymistenes språk var så vagt og innfløkt.

!!!! Forfatteren, Coelho, og hans læremester, som bare blir kalt «RAM», brukes altså kveldene på telepati og alkymi.

Boken anbefales ikke, men er veldig kort.

Steve Jobs-biografien av Walter Isaacson

I juleferien begynte jeg å lese på Walter Isaacsons Steve Jobs-biografi. Jeg har ikke lest mange biografier tidligere (tallet kan avrundes til noe veldig lavt), og da spesielt ikke noen på over 600 sider.

2011 var året da jeg ble Apple-fanboy. I mars kjøpte jeg iPad, og jeg har gjentatte ganger etterpå påstått at den har vært mitt beste kjøp noensinne.  Jeg har lest veldig mange bøker med Kindle-appen, spilt Angry Birds, lest masse matematikk på PDF-filer, surfet og skrevet epost.

I sommer kjøpte jeg (riktignok en brukt) iPhone, og kort etterpå en (brukt) MacBook Air. Begge er produkter jeg er utrolig fornøyd med, og man kan ikke annet enn å være takknemlig for mannen som har gitt oss så mange gode produkter. Også produkter vi ikke visste vi hadde lyst på (Steve Jobs hatet markedsundersøkelser, for han mente folk ikke visste hva de ville ha).

Mange andre har skrevet om biografien, så jeg skal ikke utbrodere. Boken forteller om en mann som ikke bare er utrolig dedikert, men også har en noe spesiell personlighet. Vi blir kjent med hans «reality distortion field» og hans binære syns på virkeligheten. Ting var enten «shit» eller «perfect». Microsoft-produkter var som regel «shit».

Her er noen sitater fra boken:

Steve var «alternativ» og trodde i stor grad på intuisjon som veien til godt design. Han kunne se på produktprøver, og uten å begrunne hvorfor, utbryte «this is shit». Han verdsatte likevel rasjonell tankegang:

Western rational thought is not an innate human characteristic; it is learned and is the great achievement of Western civilization.

Steve Jobs og Steve Wozniak. Wozniak var på mange måter hovedingeniøret bak Apple I og Apple II.

Han hadde spesielle spisevaner, noe som muligens forkortet livet hans betraktelig da han ble behandlet for kreft. Siden han ikke hadde sine egen lever og deler av bukspyttkjertelen hans var operert bort, klarte ikke kroppen hans å ta opp proteiner godt. Likevel insisterte han på å leve i stor grad på frukt-smoothier, epler og andre strenge veganske dietter. Ved et tilfelle sa han til sin mor:

 I’m a fruitarian and I will only eat leaves picked by virgins in the moonlight.

Denne trenger ikke forklaring:

Sometimes, to relieve stress, he would soak his feet in the toilet, a practice that was not as soothing for his colleagues.

Steve Jobs var utrolig opptatt av brukervennlighet og at produktene skulle være intuitive å forstå (hvem har vel ikke satt seg fast på en Windows-datamaskin i en eller annen bortgjemt meny?). En iPad-eier forteller om hva som skjedde da en 6-åring som (visstnok) aldri hadde sett en datamaskin før, fikk prøve en iPad:

With no instruction, and never having seen a computer before, the boy started using it intuitively. He began swiping the screen, launching apps, playing a pinball game.»Steve Jobs has designed a powerful computer that an illiterate six-year-old can use without instruction,» Noer wrote. «If that isn’t magical, I don’t know what is.»

For ikke å forgude denne (geniale) mannen for mye, her er et artig sitat:

We believe we have a moral responsibility to keep porn off the iPhone.

Dette siste sitatet eksemplifiserer veldig godt en del av Apples produktfilosofi: de vil kontrollere hele prosessen, fra fabrikkeringen til brukeropplevelsen. De vil ikke la iOS kjøre på andre mobiler, og ihvertfall ikke la deg åpne telefonen/datamaskinen/iPadden. Det samme er tilfellet med applikasjoner: apper til iPad/iPhone må godkjennes av Apple før de legges ut på App Store, og de bannlyser for eksempel pornografisk materiale og politisk ladet materiale.

«Think different» – men tenk ikke på porno!

Denne bruken av kontroll har den positive effekten at brukeropplevelsen blir enklere, mer intuitiv, og at applikasjonene på produktene fungerer bedre. Alle de som har prøvd både Windows og Mac-maskiner vet at det er mye mer venting og krasjing med Windows-maskiner. Til gjengjeld kan Windows kjøres på nesten alle maskiner, det er ingen restriksjoner på utvikling av programvare, og du kan faktisk åpne maskinen (til og med bygge den selv!)

Det er likevel nettopp kontrollen og den lukkede modellen som har gjort Apple-produktene så gode som de er. En eller annen tulling kan ikke lage virus-infiserte apper til telefonen din, og du har ikke mulighet til å ødelegge datamaskinen din (ved for eksempel å sette inn nytt minne).

Boken anbefales – spesielt for dem som tror de kan finne på å like å lese biografier. Det har jeg som nevnt ikke gjort mye av, og det frister. Kanskje blir neste biografi Albert Einstein-biografien av samme forfatter.

«Fearless Symmetry» av Avner Ash og Robert Gross

At a book store in a shopping center by the coast of California I found this gem of a book. I skimmed through the content list, and bought it without much more thinking. In retrospect, it is safe to say that it was worth the $23.95 plus Californian tax.

As the title suggests, the book is much about symmetry  – but it is also slightly misleading. The book is really about number theory and the theory that led to the solution of Fermat’s  Last Theorem.

The book’s main mission is to explore the absolute Galois group G=\mathrm {Gal}(\mathbb Q^{alg}/\mathbb Q) through representations, that is, morphisms from G to more known groups, such as matrix groups and finite fields. As such, the book is more about representation theory than symmetry. But it doesn’t stop there! A main theme in the book is how representation theory is behind generalized reciprocity laws in number theory and how reciprocity laws are used in advanced mathematics (an example of a reciprocity law is (p/q)=(-1/q)(q/p) where (p/q) is the Legendre symbol. That is, knowing if p is square mod q tells us if q is square mod p and conversely).

The book is written in a leisurely language and contains no difficult proofs and avoids technical definitions – without losing substance. Number theory is presented as a rich subject with lots of tools and abstractions.

The presentation was very inspirational, and this next semester will be like Christmas for me.

«I, robot» av Isaac Asimov

Jeg har nylig lest boken «I, robot» av Isaac Asimov. Den har ligget over et år i bokhyllen, men det var først nylig den slapp ut. Jeg trengte noe å lese i juleferien, og jeg ga – nesten for første gang – en science fiction-bok sjansen. Heldigvis kan jeg nå varmt anbefale boken. Fortsett å lese ««I, robot» av Isaac Asimov»

«Mathematics – Form and Function» av Saunders Mac Lane

I have just finished reading «Mathematics – form and function» by Saunders Mac Lane. The main goal of the book is to present the author’s philosophy of mathematics, answering the question «what is mathematics?». In doing so, he also answers the question «is mathematics true?» and demonstrates that it is a non-question. He presents mathematics as a set of tightly intervowen formal rules, wherein deduction is only allowed following the «rules of deduction». Fortsett å lese ««Mathematics – Form and Function» av Saunders Mac Lane»

«From Here To Infinity» av Ian Stewart

Jeg har akkurat fullført boken «From here to infinity – A Guide to Today’s Mathematics» av Ian Stewart. Tittelen er veldig beskrivende: den handler stort sett om hva matematikere har drevet med de siste par hundre årene, og tar opp et svært bredt spektrum av temaer (primtall (dvs. Riemann-hypotesen), knuteteori, topologi (f.eks 4-fargeteoremet), algebra (f.eks uløseligheten av femtegradslikningen), og beregnbarhet (f.eks Gödels kjente teorem)).

Boken er veldig inspirerende for en vordende matematiker. Vi får høre om hvor lang tid det tar å bevise viktige resultater, om uløste problemer, og noe om hvordan en matematiker arbeider.

Boken ble første gang utgitt i 1987, så noe av informasjonen er allerede utdatert. For eksempel er både Poincaré-formodningen og Fermats siste sats løste problemer i dag. Men det er bare motiverende! (selv i dag har matematikere noe å gjøre)

Begrepene i boken introduseres på en lettlest måte, og kan leses av alle med allmennkunnskapene i orden.  Jeg koseleste boken i den forstand at jeg ikke tok meg tid til å «gjennomforstå» hvert eneste nye begrep som ble innført.

Forfatteren fokuserer mye på hvor mye matematikken har blitt anvendt i samfunnet rundt oss, og beskriver hvordan utviklingen av ny matematikk har blitt inspirert av fremgang i fysikk/biologi/økonomi/osv.  Han spår at «det tjueførste århundrets matematikk» (dvs. dagens og framover!) vil bli mye preget av samspillet mellom datamaskiner/fysikk og moderne teknologi. Selv har jeg ikke dette inntrykket, men det er likevel interessant å lese om hvordan man på slutten av 80-tallet så for seg framtidens matematikk.

Boken kan lånes på  Matematisk Bibliotek på Blindern. (når jeg har levert den tilbake!)

«Symmetry» av Marcus Du Sautoy.

Jeg har nylig fullført boken «Symmetry – A journey into the patterns of nature» av Marcus du Sautoy. Jeg begynte å lese boken på flyet hjem fra Bangkok (på grunn av heldige omstendigheter satt jeg på Business Class), og fullførte den for noen dager siden.

Boken er en perle å lese for alle matematikkstudenter – og også andre matematikkinteresserte. Den er en fin blanding av matematikkhistorie, matematikken bak symmetri (fortalt svært lettfattelig) og hvordan det er å være matematiker. Sistnevnte ingrediens er kanskje den mest velsmakende av alle tre.

Som tittelen hinter til, handler boken om symmetri, og hva det egentlig ér. «Vanlige», uopplærte mennesker, har en vag definisjon i bakhodet, og tenker kanskje på speil og blomster. Boken prøver å fortelle oss hva en matematiker mener med symmetri, og hvordan man har laget et matematisk begrep som gjør at man kan regne med «symmetrier». Man snakker om symmetrigrupper, og klassifiseringen av de endelige simple gruppene.

Matematikkdelen av boken er enkel, og det aller meste er forståelig for de aller fleste. Likevel tror jeg det kan være en fordel å kjenne noen av begrepene (gruppeteori, spesielt) når man leser boken slik at man forstår hva den snakker om. Da blir det virkelig spennende!

Historiedelene av boken forteller hvordan man har arbeidet med symmetribegrepet opp gjennom historien, hvordan det førte til at vi begynte å telle (ved at vi ser likheter mellom enkeltting), og hvordan symmetribegrepet hjalp oss å bevise at femtegradslignigen ikke har noen løsningsformel).

du Sautoy forteller hvordan det er å arbeide som matematiker. Om hvordan det er å reise verden rundt på konferanser, om sære matematikere, og hvordan det er å jobbe på et universitet.

Som en subtil symmetrisk detalj starter og slutter boken på samme begivenhet.

Anbefales.