To ensomme ulver

Denne teksten ble publisert i tidsskriftet Argument nr 1 2017. For å se hvordan det så ut trykket, kan teksten leses på nett hos Argument (klikk på lenken og finn utgave én 2017).


Andrew Wiles’ kontor. Bildet er hentet fra dokumentaren til Simon Singh.

Klisjematematikeren er en distre mann med rotete kontor. Han er en ensom ulv som lever i sin egen tankeverden, gjerne upåvirket av tidens mote og akademisk byråkrati. Akkurat som de fleste andre klisjeer, har denne en rot i virkeligheten. De ensomme ulvene finnes, men de er sjeldent representative for matematikere generelt.

Akkurat som i de fleste andre yrkesgrupper er matematikk et samarbeidsprosjekt. Vi har seminarer, vi arrangerer konferanser og workshops. Vi samarbeider om artikler, og vi diskuterer våre funn og våre innsikter. Matematikere kommer i alle former og typer, som regel er de normale mennesker med en ikke så veldig vanlig jobb.

Likevel er det de ensomme ulvene som fascinerer. Folk som Steve Jobs, Bill Gates, Alan Turing, Albert Einstein, Isaac Newton, Platon. Disse forandret verden, tross stor motgang, og hadde en drivkraft de fleste av oss ikke kan annet enn å misunne. I alle fagfelt dukker denne typen person jevnlig opp og revolusjonerer ofte måten man tenker på. Etterpå må ideene deres bearbeides og arbeides inn i tankegangen til resten av vitenskapen.

I matematikken har det i de siste tiårene vært to personer som kanskje har utmerket seg mer enn andre. Den ene jeg tenker på er Andrew Wiles, som vant Abelprisen i mai i år. Den andre jeg tenker på, er Yitang Zhang, som gjorde store framskritt på den såkalte tvillingprimtallsformodningen.

Andrew Wiles etter at han mottok Abel-prisen i 2016. Bildet er hentet fra Abelprisens nettsider.

Det Andrew Wiles er kjent for, er hans løsning av Fermats siste sats. Det er et veldig morsomt problem, fordi det er ikke så vanskelig å forklare problemet, men løsningen er ekstremt avansert. Tenk tilbake til ungdomsskolen, og på Pythagoras. Da lærte man at hvis man har en rettvinklet trekant, så er summen av kvadratene til de to korteste sidene lik kvadratet til den lengste siden. Eller med bokstaver: a^2+b^2=c^2. Denne ligningen har den pene egenskapen at den har heltallsløsninger: setter vi a=3, b=4 og c=5, ser vi at vi får en løsning fordi 9+16=25 (faktisk finnes det uendelig mange heltallsløsninger). Det Fermat påstod, var at om vi bytter ut 2-tallet i ligningen med en høyere eksponent, så har ikke ligningen noen løsninger! I bokstaver: ligningen a^n+b^n=c^n har ingen heltallsløsninger når n er større enn 2.

Fermat påstod han hadde et bevis for denne påstanden, men han skrev dette aldri ned. I 350 år prøvde matematikere å bevise formodningen, helt til Wiles endelig skjøt gullfuglen i 1993.

Helt siden Wiles var barn, hadde han vært interessert i tallteori og spesielt i Fermats siste sats. På 70- og 80-tallet begynte det å bli klart at løsningen av et annet problem ville medføre en løsning av Fermats siste sats. Det var dette problemet, Taniyama-Shimura-Weil-formodningen, som Wiles klarte å løse. Han skjønte på et tidspunkt at dette problemet kunne han kanskje klare å løse, og han bestemte seg for å bruke all sin forskningstid i hemmelighet på dette problemet. Han arbeidet hjemmefra, og kun hans kone visste hva han jobbet med. Fra 1987 til 1993 jobbet han helt alene, og publiserte samtidig deler av tidligere arbeider for ikke å vekke mistanke.

Han annonserte beviset i 1993, men det kom etter kort tid fram at beviset hadde et hull. Wiles prøvde å tette hullet i et års tid, og ga på et tidspunkt nesten opp. Sammen med sin tidligere student, Richard Taylor, klarte han å tette hullet, og det endelige beviset ble publisert i 1995 i en egen utgave av Annals of Mathematics.

Dette gjorde Wiles til kjendis over natten, og han er kanskje den eneste vitenskapsmannen sammen med Einstein som i de siste hundre årene har skapt avisoverskrifter verden over for sitt arbeid. Beviset hans var betydningsfullt nok til at Abelkomiteen i år bestemte at han fortjente Abelprisen som ble delt ut 24. mai av Kronsprins Håkon i universitetets aula.

Yitang Zhang som foreleser. Bildet er hentet fra en YouTube-video fra University of New Hampshire.

Over til Yitang Zhang og tvillingprimtallformodningen. Tvillingprimtall er par av primtall som er nærmest mulig hverandre: eksempler er 2 og 3, 3 og 5, 5 og 7, 11 og 13, 29 og 31, og så videre. Formodningen sier at det finnes uendelig mange slike par av primtall: uansett hvor langt ut i tallrekken vi går, vil vi alltid klare å finne to slike naboprimtall.

Zhang var inntil for noen få år siden en helt ukjent matematiker. Han slet med å få en fast stilling, og jobbet på et tidspunkt deltid på Subway. Han fikk mastergraden sin fra Universitetet i Peking i 1984 og tok doktorgraden sin i USA ved Purdue University. Etter noe tid utenfor akademia, fikk han til slutt en undervisningsstilling ved University of New Hampshire.

I 2009 begynte han å jobbe seriøst på tvillingprimtallsformodningen, et problem han lenge hadde vært interessert i. Etter flere års arbeid, klarte han å gjøre noe ingen hadde klart før ham: han viste at det finnes uendelig mange primtall med en avstand på 70 millioner (i stedet for 2, som i formodningen). Selv om dette kan høres ut som langt fra et faktisk framskritt, var dette et enormt steg i riktig retning. Før Zhangs bevis, hadde ingen noen anelse om hvordan man skulle vise noen slik begrensning.

Kort tid etter at han publiserte beviset, fikk han en full professorstilling. Det skjedde også noe som passer godt inn i vår internetttidsalder: det ble opprettet et såkalt Polymath-prosjekt: matematikere fra hele verdensveven samarbeidet om å forbedre begrensningen i beviset til Zhang, og etter få måneder var 70 millioner redusert til 246. Det store gjennombruddet ble altså gjort av Zhang, men finpussingen ble gjort av det store matematikersamfunnet.

Hva er det som fascinerer så mye med disse to matematikerne? Begge er ensomme ulver som klarer å jobbe motivert og lenge uten press og tilbakemelding fra andre. Begge klarte å bevise noe ingen trodde var mulig. Og begge ble kjendiser over natta.

Vi trenger de ensomme ulvene til å inspirere oss. Vi trenger å høre om folk med pågangsmot og viljestyrke, som klarer det umulige.

Likevel er det også viktig å være takknemlige for institusjonene rundt som gjør heltene mulige. Vi trenger også de flittige arbeiderne og forskerne, som kanskje aldri utretter noe stort, men som likevel trengs for å holde maskinen i gang. Det er disse som skriver lærebøkene, som finpusser tidligere resultater, og som lærer opp neste generasjon forskere.

Mandelbrot-fraktaler

Jeg tenker å bruke denne bloggen til å forklare forskjellige interessante ting jeg kommer over på en forståelig måte. I denne bloggposten vil jeg forklare Mandelbrot-fraktalen. Underveis gir jeg lynintroduksjoner til komplekse tall og konvergente og divergente følger.

Komplekse  tall

Fra barnsben av lærer vi om desimaltall, og at disse ligger på en linje. Matematikere kaller disse tallene for de relle tallene, og vi kaller mengden av alle reelle tall for \mathbb R («krittavle-R»). Du kan tenke på tallinja som en linje som er uendelig lang i begge retninger, hvor negative tall er til venstre og positive tall er til høyre.

Komplekse tall går ikke bare i én retning, men i to. De har altså både en x- og en y-koordinat. Alle komplekse tall ligger i planet:

Det komplekse planet. Hvert komplekse tall er gitt ved to koordinater.
Det komplekse planet. Hvert komplekse tall er gitt ved to koordinater.

Over er et bilde av det komplekse planet. Hvert komplekse tall er gitt ved to koordinater: en realdel a og en imaginærdel b. Vi ser at tallene med imaginærdel lik null (altså tallene med b=0), er reelle tall. Altså er alle reelle tall en del av det komplekse planet, men vi har mange nye tall.

Det er lett å legge sammen komplekse tall. Om vi har to komplekse tall, legger vi bare sammen realdelene og imaginærdelene hver for seg:

(a+ib) + (c+id) = (a+c)+i(b+d)

Tenker vi oss litt om, er dette akkurat som vektoraddisjon:

Å legge sammen komplekse tall gjøres ved parallellogram-regelen.
Å legge sammen komplekse tall gjøres ved parallellogram-regelen.

På bildet over har vi summert tallene 1+i og 1.5+0.5i.

Vi kan også gange sammen komplekse tall. Dette er rett fram, bare at vi krever en ting: for komplekse tall krever vi at i^2=-1. Den nye koordinaten vi innfører, fungerer som en kvadratrot for -1 (husk at om x er et reelt tall, er alltid kvadratroten positiv. Komplekse tall oppfører seg annerledes):

(a+ib)(c+id) = ac+ad i +bc i + bc i^2 = (ac-bc) + (ad+bc)i.

Det finnes også en geometrisk tolkning av multiplikasjon av komplekse tall, men det hopper vi over i denne runden (hvis du virkelig vil ha svaret: for å gange sammen to komplekse tall, så ganger vi sammen lengdene til tallene og legger sammen vinklene).

Alle komplekse tall har en lengde. Lengden til et komplekst tall er akkurat hva du tror det skal være, og hvis vi husker ungdomsskolepensumet, husker vi at vi kan regne ut lengen ved hjelp av Pythagoras’ formel. Vi skriver |z| for lengden til tallet z.

|z| = \sqrt{a^2+b^2}.

Dette er de egenskapene til komplekse tall vi trenger for å forstå hvordan Mandelbrot-fraktalen er definert. Komplekse tall er et fascinerende felt, og det er mange flere ting jeg kunne sagt, men jeg har ingen planer om å skrive bok akkurat nå.

Det viktigste å huske er at de legges sammen koordinatvis, og at i^2=-1. Fra dette følger alt det andre.

Følger

La oss starte med et eksempel. Jeg gir deg to startverdier a_1 = 1 og a_2=2. Så forteller jeg deg at du får neste tall i følgen ved å legge sammen de to forrige tallene. Dermed er a_3 = a_2 + a_1 = 2. Sånn kan vi fortsette, og generelt har vi at a_n = a_{n-1} + a_{n-2}. De første tallene vi får er er

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144,...

Dette gir oss det som kalles en følge. En følge er ikke noe annet en uendelig lang rekke av tall (de kan godt være naturlige tall eller komplekse tall). Her er hvordan du kan lage disse tallene i Python:

L = [1,1]
for i in range(20):
    L.append(L[i]+L[i+1])

L
>>
[1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181, 6765, 10946, 17711]

Det vi ser er at at tallene vokser veldig raskt. Faktisk vokser de eksponensielt raskt (like raskt som en bakteriekultur med nok næring og plass), og asymptotisk som \varphi^n, hvor \varphi=(1+\sqrt 5)/2 er det gylne snitt.

Denne følgen er også kjent som Fibonacci-følgen, og det er allerede skrevet masse om den. Se for eksempel Wikipedia.

Dette var et eksempel på en divergent følge. Den vokser og vokser og går ikke mot noe bestemt tall. Det er to måter en følge en følge kan divergere på. Enten går den mot uendelig, slik Fibonacci-følgen gjorde. Ellers kan den oscillere og aldri slå seg til ro. Et eksempel er a_n=(-1)^n. Denne går slik: 1, -1, 1, -1, …, og slår seg aldri til ro.

Med dette vet vi nok om følger til å introdusere Mandelbrot-mengden.

Mandelbrot

La f(z)=z^2+c. Dette er altså en funksjon som først kvadrerer et komplekst tall og så legger c til det. Geometrisk betyr dette at vi kvadrerer lengden til tallet og dobler vinkelen, og deretter flytter det med vektoren c  bortover (vi kan alltid tenke på komplekse tall som både tall og vektorer).

For hvert komplekse tall c lager vi følgende følge: z_0=0. Deretter er z_1=f(0). Og z_2=f(f(0)). Generelt er z_n=f(z_{n-1})=f^{(n)}(0). Vi bruker altså funksjonen igjen og igjen på det forrige resultatet.

Eksempel: la c=1. Da er z_0=0. Og z_1=0^2+1=1. Og z_2 = f(f(0))=f(1)=1+1=2. Før du leser neste avsnitt, ser du hva neste tall i følgen blir?

Vi regner ut z_3 = f(f(f(0))) = f(2) = 2^2+1=5. Og z_4 = 5^2+1=26. Og z_5 = 26^2+1= 677. Dette vokser utrolig raskt. Allerede z_{10} \approx 10^{90}, som er mye mer enn antall atomer i det observerbare universet.

Hva skjer så hvis vi prøver med c=-1 i stedet? Vi regner ut de første tallene i Python slik:

def z(n):
    if n == 0:
        return 0
    else:
        return z(n-1)**2-1

[z(i) for i in range(10)]
>>
[0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1, 0, -1]

Nå vokser ikke tallene, og vi ser at følgen alternerer mellom 0 og -1. Vi sier at følgen er begrenset.

La oss prøve med et komplekst tall, for eksempel c = i, altså roten til minus én. Igjen kan vi bruke Python til å gjøre utregningen for oss. Python har et bibliotek som gjør at vi slipper å implementere komplekse tall selv. Så følgende kode virker:

import cmath

def z(n, c):
	if n == 0:
		return 0
	else:
		return z(n-1,c)**2 + c


print([z(k,1j) for k in range(12)]

>>
[0, 1j, (-1+1j), -1j, (-1+1j), -1j, (-1+1j), -1j, (-1+1j), -1j, (-1+1j), -1j]

Igjen ser vi at vi får noe som ikke vokser ut av all kontroll. Det er interessant å spørre seg for hvilke c i det komplekse planet vil denne følgen vokse ut av all kontroll, og for hvilke c vil den holde seg begrenset?

Det er akkurat dét Mandelbrot-mengden er: det er mengden av c-verdier i planet slik at følgen over er begrenset. Så langt vet vi at -1 og i er med i Mandelbrot-mengden, men ikke 1.

Implementering av Mandelbrot i Processing

Processing er et programmeringsspråk som er bygd på Java, men med enklere syntaks. Formålet er at det skal være enkelt å komme i gang, og da spesielt med grafikk. Siden det er bygd på Java, har vi tilgang til alle de vanlige Java-bibliotekene, og syntaksen er veldig lik.

Siden Mandelbrot-mengden er definert som en viss delmengde av det komplekse planet, er det kjekt å kunne regne på komplekse tall på datamaskinen. Derfor har jeg skrevet en liten klasse for å summere og gange sammen komplekse tall:

class Complex {
  double x;
  double y;
  
  Complex(double x_, double y_) {
    x = x_;
    y = y_;
  }
  
  @Override
  public String toString() {
    return String.valueOf(x) + "+i" + String.valueOf(y);
  }
  
  // adds c to self
  void add(Complex other) {
    x = x + other.x;
    y = y + other.y;
  }
  
  // squares this number
  void square() {
    double old_x = x;
    double old_y = y;
    x = old_x*old_x - old_y*old_y;
    y = 2*old_x * old_y;
  }
  
  // returns square of length
  double lengthSq() {
    return x*x+y*y;
  }
}

Vi har nå muligheter for å legge sammen to komplekse tall, kvadrere et tall, og å få lengden til tallet.

Vi trenger en funksjon som lager følgen z_n = f(z_{n-1}) som vi definerte over. Husk at et komplekst tall c er med i Mandelbrot-mengden om denne følgen er begrenset. Om vi har gitt z_{n-1}, vil denne funksjonen regne ut z_n:

public void iterate(Complex z, Complex c) {
  z.square();
  z.add(c);
}

Koordinatsystemet Processing bruker er forskjellig fra det koordinatsystemet vi lærer om på skolen. I Processing svarer koordinatet (0,0) til venstre øvre hjørne. Jeg har derfor skrevet en funksjon som oversetter fra «piksel-koordinater» til komplekse koordinater. Når vi har alt dette, kan vi bruke følgende funksjon for å regne ut om et punkt (i,j) er med i Mandelbrot-mengden:

boolean checkMandelbrot(int i, int j, int noIterations) {
  Complex c = pixelToComplex(i, j);
  int k = 0;
  Complex z = new Complex(0, 0);
  while (k < noIterations) { iterate(z, c); if (z.lengthSq() >= 4) {
      return false;
    }
    k++;
  }
  return true;
}

Funksjonen konverterer først pikselkoordinatet (i,j) til et komplekst tall. Deretter lager den følgen, og sjekker om den er ubegrenset eller ikke. Ifølge Wikipedia er følgen ubegrenset om den en gang får vektorer med lengde 2. Hvis dette skjer før vi har nådd maksimalt antall iterasjoner, returnerer vi false, som betyr at punktet ikke er med i Mandelbrot-mengden.

Til slutt gjør vi dette for alle punkter i bildet, og vi får ender opp med følgende versjon av Mandelbrot-mengden:

En enkel versjon av Mandelbrot-fraktalen, uten noe hokuspokus.
En enkel versjon av Mandelbrot-fraktalen, uten noe hokuspokus.

Hele koden for å generere dette har jeg lagt ut på GitHub.

Jeg har også skrevet en mer komplisert versjon av samme skript som gir penere bilder:

Fargene sier noe om hvor raskt følgen i det punktet divergerer.
Fargene sier noe om hvor raskt følgen i det punktet divergerer.

I det mer kompliserte programmet har jeg lagt til funksjonalitet som gjør at man kan zoome innover i fraktalen. Her er noen utsnitt av hva man se:

Sjekk ut koden på GitHub. Jeg må bare først advare om at koden til denne er ganske rotete og dårlig kommentert!

Det får være nok for denne gang. Forhåpentligvis har leseren lært noe om Mandelbrot-mengden og at matte blir mye morsommere når man kan programmere den.

Et streiftog blant utvalgte matematikere

Man tenker på matematikere som fjerne mennesker uten særlig stor grad kontakt med virkeligheten. De går rundt i sin egen verden, krasjer i lyktestolper mens de tenker på problemer, og bryr seg ikke om utseendet. Ingen stereotypi er ubegrunnet, og dette gjelder selvsagt også for matematikere.

Arkimedes, en av de store tidlige matematikerne, var et typisk eksempel på en fjern matematiker. Da byen Syrakus ble invadert av romerne, løste Arkimedes geometriproblemer i sanden. En soldat skal ha kommandert ham til å møte generalen, men Arkimedes nektet, og svarte «Ikke forstyrr mine sirkler!». Soldaten ble fornærmet, og drepte Arkimedes.

Det er lett å la seg fascinere av en slik fascinasjon. Det var akkurat det Sophie Germain gjorde på 1700-tallet. Som barn var hun nødt til å holde seg inne på grunn av revolusjon i gatene i Paris. Hun brukte tiden til å lese i farens bibliotek, og kom over historien om Arkimedes´ død. Sophie tenkte at om noen kunne være så fascinert av matematikk så måtte det være fantastisk interessant. Hun begynte å lese alle matematikkbøkene i farens bibliotek, og skal til og med ha lært seg gresk og latin for å kunne lese verkene til Newton og Euklid. Siden matematikk ikke var en passende aktivitet for unge piker, fant foreldrene til Sophie på metoder for å holde henne unna matematikken. De gjemte vekk varme klær, fjernet stearinlysene og slo av varmen slik at Sophie ikke skulle ha muligheten til å lese matematikk om kveldene. Men Sophie var slu. Hun hadde et hemmelig lager med stearinlys, og om kveldene tullet hun seg inn i lakner og leste matematikk. Da foreldrene oppdaget henne en morgen, frossen og sovende, på pulten med tavlen full av formler og blekket i blekkhuset frosset, skjønte de at nok var nok, og at det var på tide å la henne få arbeide med matematikken som hun ville. Det var et klokt valg, og Sophie endte opp med å gjøre viktige bidrag til matematikken.

Men matematikere er ikke bare totalt oppslukt i arbeidet sitt, de er også ofte pussige mennesker. Godfrey Harold Hardy var en brite med sin storhetsperiode på begynnelsen av forrige århundre. I en artikkel, «A mathematician’s apology», skriver Hardy at hovedgrunnen til at han liker matematikk så godt, er at det er totalt ubrukelig. Hardys felt var nemlig tallteori, et matematisk felt hvor man ikke regnet på kanonkuler, sjokkbølger, eller noe annet av praktisk betydning – trodde han. Hardy kunne vanskelig ta mer feil. Hans felt, tallteori, er bakgrunnen for sikker kryptering på internett og bankterminaler. Hardy hadde sine særegenheter, og han skal ha nektet å bruke armbåndsur og telefon, og insisterte på å å bruke telegram og postkort til å kommunisere med. Hans store lidenskap etter matematikk var cricket. Hardy giftet seg aldri, men skal ha hatt korte platoniske forhold med unge menn.

Om Hardy var pussig, så blir han forbigått langt på vei av Paul Erdös. Erdös ble født i Ungarn i 1913 og skal ha utviklet matematisk talent svært tidlig: som treåring skal han ha kunnet regne ut hvor mange sekunder en person hadde levd. Som 21-åring fikk han doktograden sin, og han underviste noen år i Manchester og Princeton. Etterhvert begynte han med sin karakterisiske vane med å reise rundt mellom forskjellige matematikkfakulteter rundt omkring i verden. Han ble aldri lenge på et sted, og fortsatte med dette hele livet. Eiendeler betydde lite for Erdös, og de fleste eiendelene hans fikk plass i en koffert. Han dukket ofte opp på døren hos en matematiker og erklærte at «hans hjerne er åpen». Der ville de samarbeide og skrive noen artikler, før Erdös dro til neste matematiker.

Et sitat Erdös er kjent for, er at «en matematiker er en maskin for å gjøre om kaffe til teoremer», og Erdös skal ha vært en stor kaffeforbruker. Koffein var ikke det eneste rusmidlet Erdös hadde et stort forbruk av: han brukte jevnlig amfetamin. En venn veddet $500 på at han ikke kunne klare et måned uten stoffet, men tapte. Etter måneden uten amfetamin, begynte han raskt igjen, for som han selv sa: «Før, når jeg så på et blankt ark, ble hodet mitt fylt av ideer. Nå er alt jeg ser et tomt ark.»

Erdös snakket ofte om «Boken», hvor de aller vakreste matematiske bevisene var skrevet ned av «Gud». Han tvilte selv på Guds eksistens, og kalte ham for «den største fascisten», og anklaget ham for å gjemme sokkene og det ungarske passet hans, og for å holde de mest elegante matematiske bevisene for seg selv. Når han kom over et spesielt elegant bevis, ville han utbasunere at «denne er fra Boken!». Han hadde en spesiell ordbruk, og kalte små barn for «epsiloner» (matematikere bruker den greske bokstaven epsilon til å representere et veldig lite tall), kvinne var «sjefer», menn var «slaver», personer som hadde sluttet med matematikk hadde «dødd», personer som hadde giftet seg hadde blitt «fanget», og personer som skilte seg var «frigjort». Å holde et matematikkforedrag var å «preke», og å gi en student en muntligeksamen var å «torturere» ham/henne. Erdös foreslo at teksten på gravstenen hans skulle være «nå har jeg endelig sluttet å bli dummere».

Det forrige århundrets største logiker var nesten uten tvil Kurt Gödel, som beviste sine to berømte ukompletthetsteoremer. Gödel ble født i Østerrike i 1906, og viste tidlig matematiske talenter. Allerede som 18-åring behersket han universitetsmatematikk, og ble Privatdozent som 27-åring. På denne tiden kom nazistene til makten også i Østerrike, og på grunn av sine jødiske kontakter så Gödel seg nødt til å flykte til USA – noe han gjorde på den transsibirske jernbanen, seilte fra Japan til San Fransisco, så tog til Princeton, hvor han fikk en professorstilling. Her ble han kjent med Albert Einstein, og de ble svært gode venner. På slutten av livet skal Einstein ha sagt at hans eget arbeid ikke lenger betydde særlig, og at den eneste grunnen til at han kom på Princeton, var å få gå spaserturer med Gödel.

Gödel led av diverse psykiske lidelser, og skal ha hatt en konstant frykt for å bli forgiftet. Han nektet å spise noen mat før konen hans, Adele, hadde smakt på maten først. Da Adele tilbrakte seks måneder på sykehus, sultestreiket Gödel, og endte opp med å sulte seg i hjel.


Teksten over ble publisert i tidsskriftet Argument, nummer 5, 2010.